モンティーホール問題という言葉を聞いたことがありますか？
「3つのドアから1つを選ぶだけなのに、途中で選び直したほうが当たる確率が高くなる」という、ちょっと不思議な確率問題です。
しかも、最初に選んだドアと、残ったドアの2つ。どちらも同じように見えるため、「当たる確率は2分の1じゃないの？」と思ってしまいます。
ところが、モンティーホール問題の答えは「選び直したほうが当たる確率が高い」です。
最初のドアをそのまま選ぶ場合は3分の1。一方、別のドアに選び直すと3分の2になります。
この記事では、モンティーホール問題とは何なのか、なぜ選び直すと確率が2倍になるのかを、できるだけ簡単に解説します。
モンティーホール問題とは？
モンティーホール問題は、アメリカのクイズ番組を題材にした有名な確率問題です。
基本的なルールは、とても簡単です。
- 3つのドアがある
- 1つのドアの後ろには当たりがある
- 残り2つのドアはハズレ
- 挑戦者は最初に1つのドアを選ぶ
- 司会者は当たりの場所を知っている
- 司会者は、挑戦者が選ばなかったドアのうち、必ずハズレのドアを1つ開ける
- その後、挑戦者は最初のドアのままにするか、もう1つの閉じたドアに変更できる
ここで問題です。
あなたなら、最初に選んだドアをそのままにしますか？それとも選び直しますか？
直感的には「最後は2つのドアが残るのだから、当たる確率は50％ずつ」と考えたくなります。
しかし、実際にはそうではありません。
答えは「選び直すと3分の2」
モンティーホール問題の基本的な答えは次の通りです。
| 選択方法 | 当たる確率 |
|---|---|
| 最初のドアを変えない | 3分の1 |
| 別のドアに選び直す | 3分の2 |
つまり、選び直した場合は、最初のままの場合と比べて当たる確率が2倍になります。
「でも、最後には2つしか残っていないのだから、50％ずつでは？」と思うかもしれません。
この問題を理解するためには、最初にドアを選んだ瞬間の確率を考えることが重要です。
最初に選んだ時点では3分の1
3つのドアのうち、当たりは1つだけです。
そのため、最初に適当に1つのドアを選んだ場合、そのドアが当たりである確率は3分の1です。
逆に考えると、最初に選んだドアがハズレである確率は3分の2です。
ここがモンティーホール問題の重要なポイントです。
最初の選択は、
- 当たりを選んでいる……3分の1
- ハズレを選んでいる……3分の2
という状態からスタートしています。
司会者がハズレを開けることに意味がある
では、司会者がハズレのドアを1つ開けたらどうなるのでしょうか。
ここで重要なのは、司会者が当たりの場所を知っているということです。
司会者は、適当にドアを開けているわけではありません。
挑戦者が選んでいないドアの中から、必ずハズレのドアを選んで開けます。
たとえば、あなたがAのドアを選んだとします。
この時点でAが当たりである確率は3分の1。BとCのどちらかが当たりである確率を合わせると3分の2です。
司会者はBとCのうち、ハズレであることを知っているドアを1つ開けます。
すると、BかCのどちらか1つが閉じたまま残ります。
このとき、最初に選んだAの確率は3分の1のままです。
一方、最初に選ばなかったBとCのグループが持っていた3分の2の可能性が、残った1つのドアに集まると考えることができます。
3つのパターンで考えると簡単
難しく感じる場合は、当たりの場所を3パターンに分けて考えると分かりやすくなります。
パターン1：最初から当たりを選んでいた
最初に当たりのドアを選ぶ確率は3分の1です。
この場合、司会者は残った2つのハズレのうち1つを開けます。
ここで選び直すと、残ったドアはハズレなので負けます。
つまり、最初のドアをそのままにすれば当たりです。
パターン2：最初にハズレを選んでいた
最初にハズレを選ぶ確率は3分の2です。
この場合、残り2つのドアのうち、1つは当たり、もう1つはハズレです。
司会者は必ずハズレのドアを開けるため、閉じたまま残るドアは必ず当たりになります。
つまり、最初のドアから別のドアへ変更すると当たりです。
パターン3：もう一つのハズレを選んでいた
これも最初にハズレを選んでいるので、確率は3分の2の中に含まれます。
司会者はもう一つのハズレを開けるため、残ったドアが当たりになります。
したがって、ここでも選び直すと当たりです。
表にすると一目で分かる
| 最初の選択 | そのまま | 選び直す |
|---|---|---|
| 当たり | 当たり | ハズレ |
| ハズレ | ハズレ | 当たり |
| ハズレ | ハズレ | 当たり |
3パターンのうち、最初のドアをそのままにして当たるのは1パターンです。
一方、選び直して当たるのは2パターンあります。
そのため、
そのまま……1回／3回＝3分の1
選び直す……2回／3回＝3分の2
となります。
なぜ「2分の1」に見えてしまうの？
モンティーホール問題が難しい理由は、最後にドアが2つになるからです。
「3つのうち1つが開いた。残りは2つ。だから50％ずつ」と考えてしまいます。
しかし、ここでは誰が、どのようなルールでドアを開けたのかが重要です。
司会者が当たりを知らず、完全にランダムでドアを開けているのであれば、同じようには考えられません。
モンティーホール問題では、司会者が当たりを知っていて、必ずハズレを開けるという条件があります。
つまり、司会者がドアを開けたという行動そのものに情報が含まれているのです。
もっと分かりやすくするなら100個のドア
3つのドアだと分かりにくい場合は、100個のドアに置き換えて考えるとイメージしやすくなります。
100個のドアのうち、1個だけが当たりです。
あなたが最初に1個選んだ場合、そのドアが当たりである確率は100分の1です。
残り99個のドアのどこかに当たりがある確率は100分の99です。
ここで司会者が当たりの場所を知ったうえで、あなたが選んでいない98個のハズレを全部開けたとします。
最後に残ったのは、あなたが最初に選んだドアと、もう一つのドアです。
この状況で「どちらも50％に見える」と感じるでしょうか？
最初のドアは、最初から100分の1のままです。
一方、残り99個のグループにあった100分の99の可能性が、最後の1個に集まっています。
このように考えると、3つのドアの場合も「最初のドアは3分の1、残りのグループは3分の2」という意味が分かりやすくなります。
実際に試してみるとどうなる？
モンティーホール問題は、頭の中だけで考えると納得しにくい問題です。
そこで、紙に3つのドアを書いて、何度もゲームを再現してみるのもおすすめです。
当たりをランダムに決め、最初に1つを選び、司会者役が必ずハズレを1つ開けます。
その後、「そのまま」と「選び直す」の結果を記録していきます。
数回だけでは結果が偏ることがありますが、回数を増やしていくと、選び直した場合はおおむね3分の2、最初のドアを維持した場合はおおむね3分の1に近づいていきます。
1回のゲームでは、もちろん選び直してもハズレることがあります。
「選び直せば必ず当たる」という意味ではありません。
何度も繰り返したときの確率として、選び直す方法が3分の2になるということです。
モンティーホール問題から学べること
この問題の面白さは、単なるクイズではありません。
私たちは「目の前に残ったもの」だけを見て、確率を判断してしまいがちです。
しかし実際には、そこに至るまでに何が起きたのか、誰がどんな情報を持っていたのかによって、確率の意味は変わります。
モンティーホール問題は、直感だけで判断すると間違えやすい確率問題の代表例です。
「残り2つだから50％」と考える前に、最初の選択がどのくらいの確率だったのか、そして司会者がなぜそのドアを開けたのかを考えることが大切です。
まとめ
モンティーホール問題とは、3つのドアから1つを選び、司会者がハズレのドアを1つ開けた後、選び直すかどうかを考える有名な確率問題です。
ポイントをまとめると、次のようになります。
- 最初に選んだドアが当たりである確率は3分の1
- 最初に選んだドアがハズレである確率は3分の2
- 司会者は当たりを知っていて、必ずハズレを開ける
- 選び直さなければ当たる確率は3分の1
- 選び直すと当たる確率は3分の2
- 最後に2つのドアが残っても、単純に50％ずつではない
モンティーホール問題が教えてくれるのは、「見た目だけで確率を判断してはいけない」ということです。
特に重要なのは、司会者が当たりを知っていて、必ずハズレを開けるというルールです。
この条件があるからこそ、最初のドアの3分の1に対して、残りのドア側には3分の2の可能性が残ります。
「2つ残ったから50％」ではなく、「最初から3分の1だった選択と、最初から3分の2だったグループ」と考えると、モンティーホール問題の仕組みが見えてきます。
身近な確率問題でも、表面的な数字だけを見るのではなく、そこに至るまでの条件や情報を考えることが大切なのです。
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